Как решить систему неравенств с корнем

Для этого потребуется знание графиков линейной, квадратичной, дробно-рациональной функций и их преобразований. Решить уравнение графически, это когда на одном и том же рисунке построить графики двух функций и найти их точки пересечения, абсциссы этих точек и дадут корни уравнений.

Данное уравнение имеет один параметр. Поэтому ответ записывается так: Перенесем все члены уравнения в левую часть и разложим на множители.

Решением неравенства является множество. Перейдем к последнему промежутку. Осталось объединить решения, полученные в трех случаях: Рассмотрим решение иррациональных неравенств, то есть неравенств, в которых неизвестная содержится под знаком радикала. Простейшие из них имеют вид: При рассмотрении этих неравенств будут применяться следующие утверждения: Иногда в уравнениях и неравенствах некоторые коэффициенты или свободные члены заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами.

Неравенство выполняется в промежутках: Если эта кривая расположена выше оси абсцисс, левая часть неравенства положительна, а там, где эта кривая расположена ниже оси абсцисс, левая часть неравенства отрицательна. Однако метод интервалов дал бы неверный результат, если бы среди корней многочленов были кратные корни, а это значит, что в левой части неравенства не только линейные множители.

Суть этого метода в следующем: Эти корни разбивают числовую ось на промежутки, на каждом из которых выражение, стоящее в левой части, сохраняет знак;. Эти числа разбивают числовую ось на пять промежутков: Выбрав в каждом промежутке контрольную точку, определим знак функции, стоящей слева нашего неравенства.

Выбирая на этих промежутках контрольные точки, проверяем, удовлетворяется ли на них заданное неравенство или нет. Ответом к задаче служит объединение промежутков, где выполняется данное неравенство. После элементарных упрощений получаем. Значит, решением неравенства на рассматриваемом промежутке является множество. Перейдем на следующий промежуток.

Выпишем интервалы, где выполняется неравенство: Неравенства, содержащие знак модуля. При рассмотрении этих неравенств будут применяться следующие утверждения:. Данное неравенство равносильно системе неравенств: Итак, решением системы является множество. Данное неравенство равносильно совокупности систем неравенств: Решением а системы является множество. Решая б систему, получим: Осталось объединить решения, полученные в обоих случаях: Уравнения и неравенства с параметрами. Аналитический метод решения задач с параметрами.

При такой постановке каждое из этих неравенств называется алгебраическим неравенством с неизвестным. Как при решении уравнения, так и при решении неравенства требуется найти все те значения неизвестной величины, для каждого из которых указанное соотношение оказывается верным. Поэтому естественно и для неравенств ввести понятия, аналогичные тем, которые мы ввели для уравнений. Два неравенства называются равносильными , если множества решений их совпадают, то есть если всякое решение каждого из них является решением другого.

Значит, сделать полную проверку ответа, как это делается для уравнений, нельзя. Поэтому очень важно при решении неравенств переходить только к равносильным неравенствам. К равносильным неравенствам приводят тождественные преобразования, не изменяющие область допустимых значений. Решение неравенств, содержащих квадратный трехчлен: Решение целых рациональных неравенств.

Такие буквы называются параметрами. Предполагается, что эти параметры могут принимать любые значения. Решить уравнение с параметрами означает следующее: Рассмотрим задачи, которые могут быть легко решены с помощью исследования графиков функций.

Значение неизвестного называется допустимым для неравенства, если при этом значении обе части неравенства имеют смысл. Совокупность всех допустимых значений неизвестного называется областью определения неравенства.

Последнее уравнение равносильно совокупности двух уравнений: Получим ровно три корня: Данное уравнение равносильно совокупности уравнений: Графический метод решения задач с параметрами. Это уравнение равносильно системе: После эквивалентных преобразований получим систему: По условию задачи требуется, чтобы все решения первого неравенства являлись решениями второго, значит графики должны быть расположены так, как изображены на рис.

Основные теоремы преобразования неравенства в равносильное ему:. Между решениями неравенств и уравнений много общего. Отличие же состоит в том, что решением неравенств чаще всего являются бесконечные множества.

Тогда должны выполняться следующие условия: Основные теоремы преобразования неравенства в равносильное ему: Разлагая числитель и знаменатель на множители, перепишем данное неравенство в виде: Одним из методов решения неравенств, содержащих знак модуля, является метод промежутков, который был рассмотрен при решении уравнений с модулем. Разобъем числовую ось точками, в которых обращаются в нуль выражения, стоящие под знаком модуля.