Как решать неравенства дробные

Итак, рациональное неравенство можно распознать по его записи, для этого достаточно взглянуть на выражения в его левой и правой части и убедиться, что они являются рациональными выражениями. Эти соображения позволяют привести примеры рациональных неравенств.

Это и объясняет возможность проведения указанного преобразования. На практике же довольно сложно раскладывать многочлены на множители, а если их степень выше четвертой, то и не всегда возможно.

Воспользуемся алгоритмом решения рациональных неравенств. С учетом этого результата имеем ОДЗ для полученного выражения есть множество всех действительных чисел, кроме 1. Эта система не имеет решений, так как Таким образом, рациональное неравенство не имеет решений, так как оно не имеет смысла ни при каких значениях переменной.

В правой части нуль, так что из нее ничего переносить не нужно. Преобразуем целое выражение, находящееся в левой части, в многочлен: Получили квадратное неравенство, которое равносильно исходному неравенству. Решаем его любым известным нам методом. Проведем решение квадратного неравенства графическим способом. Делаем схематический чертеж, на котором отмечаем найденные нули, и учитываем, что ветви параболы направлены вниз, так как старший коэффициент отрицательный: Для решения таких неравенств подходит метод интервалов , на первом шаге которого нужно будет найти все корни многочлена h x , что частенько делается через разложение многочлена на множители.

В зависимости от этого различают рациональные неравенства с одной, двумя и т. Кстати, в учебнике [1, c. Это и понятно, так как в школе основное внимание уделяется решению неравенств с одной переменной ниже мы тоже будем говорить лишь о решении рациональных неравенств с одной переменной. Неравенства с двумя переменными рассматривают мало, а неравенствам с тремя и большим числом переменных практически вообще не уделяют внимания.

В этом случае последний шаг алгоритма будет излишним. Расширение ОДЗ может происходить при сокращении дробей, как, например, при переходе от к. Также расширению ОДЗ может способствовать приведение подобных слагаемых, как, например, при переходе от к. Для этого случая и предназначен последний шаг алгоритма, на котором исключаются посторонние решения, возникающие из-за расширения ОДЗ. Давайте последим за этим, когда будем разбирать ниже решения примеров. Начинаем с нахождения ОДЗ. Теперь добиваемся того, чтобы в правой части неравенства был нуль, для этого переносим выражение из правой части в левую, не забыв изменить знак этого выражения.

Если разложение на множители невозможно, то не будет и возможности найти решение исходного неравенства, но в школе такие случаи обычно не встречаются. Оно может быть как равносильно, так и неравносильно.

Поэтому этот путь тупиковый. Давайте поищем другие возможности решения. Проделанное преобразование является равносильным, поэтому решение полученного неравенства будет решением и исходного неравенства. Их корнями являются числа. Это позволяет перейти к равносильному неравенству , а его мы можем решить методом интервалов: По чертежу записываем ответ. В заключение этого пункта хочется лишь добавить, что далеко не всегда есть возможность найти все корни многочлена h x , и как следствие разложить его в произведение линейных двучленов и квадратных трехчленов.

В школе на уроках алгебры, как только заходит разговор про решение неравенств, так сразу же и происходит встреча с рациональными неравенствами. Однако сначала их не называют своим именем, так как на этом этапе виды неравенств представляют мало интереса, а основная цель состоит в получении начальных навыков работы с неравенствами. Рациональное неравенство — это неравенство с переменными, обе части которого есть рациональные выражения. В озвученном определении ничего не сказано о числе переменных, значит, допускается любое их количество.

Каково решение рационального неравенства? Начинаем как всегда с ОДЗ, ей отвечает система. Эта система не имеет решений, так как. Таким образом, рациональное неравенство не имеет решений, так как оно не имеет смысла ни при каких значениях переменной. Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www. Что такое рациональные неравенства? Решение целых неравенств Решение дробно рациональных неравенств.

Теперь займемся решением такой задачи: Давайте сразу приведем алгоритм ее решения, после чего внесем необходимые пояснения. Пояснений требует второй шаг алгоритма. Мы знаем, что можно любое рациональное выражение преобразовать в рациональную дробь. В числителе и знаменателе рациональной дроби находятся многочлены. А из основной теоремы алгебры и теоремы Безу следует, что любой многочлен степени n с одной переменной можно представить в виде произведения линейных двучленов.

Для удобства дальнейшего описания введем подразделение рациональных неравенств на целые и дробные. Рациональное неравенство будем называть целым , если обе его части — целые рациональные выражения. Дробно рациональное неравенство — это рациональное неравенство, хотя бы одна часть которого — дробное выражение. Теперь мы имеем четкое понимание, что представляют собой рациональные неравенства, и можно смело начинать разбираться с принципами решения целых и дробно рациональных неравенств с одной переменной.

Таким образом, в результате проделанных преобразований произошло расширение области допустимых значений: Поэтому, нужно будет обязательно выполнить последний шаг алгоритма. Так мы пришли к неравенству , оно в свою очередь равносильно неравенству. Остается из полученного интервала исключить точки, не входящие в ОДЗ переменной x для исходного неравенства. Заканчивая тему, покажем пример, в котором вывод о решении рационального неравенства делается на основе ОДЗ.

В результате приходим к равносильному неравенству. Дальше нужно преобразовать выражение в левой части к виду, удобному для применения метода интервалов. Еще выражение в числителе можно свернуть по формуле квадрат суммы: Таким образом, неравенство равносильно исходному, и последний шаг алгоритма выполнять не придется. Решаем полученное неравенство методом интервалов: Это и есть нужное нам решение рационального неравенства.

Соберем все в левой части неравенства: Теперь преобразуем выражение в левой части неравенства. Начнем с первой дроби: С учетом этого результата имеем. ОДЗ для полученного выражения есть множество всех действительных чисел, кроме 1.

Поставим перед собой задачу: Для ее решения будем использовать равносильные преобразования неравенства. В простейших случаях проделанных преобразований будет достаточно, чтобы получить искомое решение, так как они приведут нас от исходного целого рационального неравенства к неравенству, которое мы умеем решать, например, к линейному или квадратному.

Сначала переносим выражение из правой части в левую: Его решение не представляет сложности: Начинаем как обычно с переноса выражения из правой части, а дальше выполняем преобразования в левой части, используя формулы сокращенного умножения: А это означает, что решением исходного целого неравенства является любое действительное число.

А неравенство не является рациональным, так как его левая часть содержит переменную под знаком корня, а, значит, не является рациональным выражением. Неравенство тоже не рациональное, так как обе его части не являются рациональными выражениями.

Перенесем все в левую часть, после чего там раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: Проделанные манипуляции приводят нас к неравенству, которое равносильно исходному. В его левой части многочлен третьей степени. Решить его можно методом интервалов. Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках. А дальше остается выполнить стандартные шаги метода интервалов: Поясним это на примере. Решить его очень непросто, так как это предполагает поиск корней многочлена четвертой степени.

Нам уже знакомы линейные неравенства и квадратные неравенства. Они являются частными случаями рациональных неравенств , изучением которых мы сейчас и займемся. Начнем с того, что выясним, неравенства какого вида называются рациональными. Дальше разберемся с их подразделением на целые рациональные и дробные рациональные неравенства. А уже после этого будем изучать, как проводится решение рациональных неравенств с одной переменной, запишем соответствующие алгоритмы и рассмотрим решения характерных примеров с детальными пояснениями.