Как решить графически систему неравенств

Один график — одно уравнение, второй график — другое уравнение. Иными словами, запишем данные уравнения как функцию в привычном для нас виде:. А теперь просто строим две прямые. Что в нашем случае является решением? И здесь необходимо быть очень-очень внимательным! Теперь давай все сравним по порядку:. Сделай проверку — подставь найденные корни в систему и убедись, правильно ли мы ее решили графическим способом? А что если вместо одной прямой, у нас будет квадратное уравнение? Просто ты вместо прямой построишь параболу!

Конечно, можно привести все к общему знаменателю, найти корни получившегося уравнения, не забыв при этом учесть ОДЗ, но мы опять же, попробуем решить графически, как делали во всех предыдущих случаях. Глядя на этот рисунок, скажи, что является корнями нашего уравнения? Как ты уже давно у себя записал, корнем данного уравнения является -.

Итак, теперь приступим к решению квадратного уравнения. Допустим, тебе нужно найти корни у этого уравнения:. Конечно, ты можешь сейчас начать считать через дискриминант, либо по теореме Виета, но многие на нервах ошибаются при переумножении или в возведении в квадрат, особенно, если пример с большими числами, а калькулятора, как ты знаешь, у тебя на экзамене не будет… Поэтому, давай попробуем немного расслабиться и порисовать, решая данное уравнение.

Графически найти решения данного уравнения можно различными способами. Рассмотрим различные варианты, а уже ты сам выберешь, какой больше всего тебе понравится. Просто строим параболу по данному уравнению: Чтобы сделать это быстро, дам тебе одну маленькую подсказку: Определить координаты вершины параболы помогут следующие формулы:. Тем не менее, давай досчитаем до конца, а потом я покажу, как это сделать намного намного!

Точно такой же ответ? И вот мы знаем уже координаты вершины, а для построения параболы нам нужно еще … точек. Как ты думаешь, сколько минимум точек нам необходимо? Соответственно, нам необходимо еще две точки по левой или правой ветви параболы, а в дальнейшем мы эти точки симметрично отразим на противоположную сторону:. Возвращаемся к нашей параболе.

Ты уже щелкаешь подобные задачи как орешки! А раз так, дадим тебе систему посложнее:. Немного тебе подскажу, так как система выглядит ну очень не простой! Сколько точек пересечения у тебя получилось? Давай сравнивать наши графики:. Представляешь, что ты решил это за каких-то 15 минут? Согласись, математика — это все-таки просто, особенно, когда глядя на выражение, не боишься ошибиться, а берешь и решаешь! После последнего примера тебе все по плечу!

Сейчас выдохни — по сравнению с предыдущими разделами этот будет очень-очень легким! Для начала проведем простейшие преобразования — раскроем скобки полных квадратов и приведем подобные слагаемые:.

Многие задания, которые мы привыкли вычислять чисто алгебраически, можно намного легче и быстрее решить, в этом нам поможет использование графиков функций. Поверь мне, иногда это удобнее и проще. Как ты уже знаешь, графиком линейного уравнения является прямая линия, отсюда и название данного вида.

Что мы делаем дальше? Такой график у тебя получился? А теперь внимательно смотрим, что там у нас в неравенстве? Значит, закрашиваем все, что находится левее нашей прямой. А если было бы больше? Правильно, тогда закрашивали бы все, что находится правее нашей прямой. Вот и все, неравенство с двумя переменными решено. Но прежде, чем перейти непосредственно к делу, давай повторим некоторый материал, касающийся квадратной функции.

Что показывает нам знак при коэффициенте? Верно, куда направлены ветви параболы — вверх или вниз не помнишь? А за что у нас отвечает дискриминант? Теперь, когда мы освежили в памяти весь материал, перейдем к делу — решим графически неравенство. По формулам определяем координаты вершины параболы точно так же, как и при решении квадратных уравнений:. А теперь возвращаемся к нашему неравенству.

Как ты с легкостью можешь проверить, корнем нашего уравнения является число! Как я говорила выше, это самый распространенный вариант, приближенный к алгебраическому решению, но можно решать и по-другому. Для рассмотрения альтернативного решения вернемся к нашему уравнению:.

Теперь посмотрим совсем простое графическое решение, уверена, оно тебе очень понравится! Возьмем все тоже наше уравнение: Как ты считаешь, что в данном случае является корнями уравнения? Согласись, этот способ решения намного легче, чем предыдущий и даже легче, чем искать корни через дискриминант! А если так, попробуй данным способом решить следующее уравнение:. Теперь посмотрим уравнения чууууть-чуть посложнее, а именно, решение смешанных уравнений, то есть уравнений, содержащих функции разного вида.

Попробуй решить следующую систему:. Графики получились такими же? Теперь отметь на рисунке решения системы и грамотно запиши выявленные ответы!

Для нашего случая точка. Какие точки тебе удобней? Теперь у нас есть три точки, и мы спокойно можем построить нашу параболу, отразив две последние точки относительно ее вершины:. Как ты думаешь, что является решением уравнения? Это мы закончили с тобой решение уравнения сложным графическим способом, то ли еще будет! Конечно, ты можешь проверить наш ответ алгебраическим путем — посчитаешь корни через теорему Виета или Дискриминант. Что у тебя получилось?

Обычно, дальше мы делим правую часть на левую, и получаем искомый корень, но мы с тобой попробуем построить левую и правую части как две различные функции в одной системе координат. Иными словами, у нас будет:. Как ты думаешь, что является корнем нашего уравнения? Вот и вся премудрость графического решения.

Графически ничего сложного в этом нет! Глаза боятся, а руки делают! Я не буду расписывать для каждого таблицу — уверена, ты отлично справишься с этим самостоятельно еще бы, столько прорешать примеров! У тебя так же? Теперь расставим точки пересечения и цветом определим, какой график у нас по идее должен быть больше, то есть.

Сейчас я покажу тебе более простой вариант графического решения на примере того же неравенства:. А дальше быстренько схематично рисуем параболу, не высчитывая, где у нее находится вершина, ведь по сути нам это не нужно, у нас есть основное — точки пересечения параболы с осью. Рассмотрим еще один способ решения, который упрощает и алгебраическую часть, но главное не запутаться. Попробуй самостоятельно решить следующее квадратное неравенство любым понравившимся тебе способом: Честно говоря, я понятия не имею, как решить такое алгебраически… Но, оно и не надо.

В этот раз не будем ничего переносить из стороны в сторону, а построим графики напрямую, так как они сейчас есть:. Что является решением на этот раз? Как ты видишь, с линейными уравнениями все предельно просто. Настало время рассмотреть что-нибудь посложнее Например, графическое решение квадратных уравнений.

Смотри, что получилось в итоге:.

Прорешав такое большое количество примеров, уверена, ты осознал как можно легко и быстро решать уравнения графическим путем. Настало время разобраться, как решать подобным способом системы. Графическое решение систем по сути ничем не отличается от графического решения уравнений. Мы так же будем строить два графика ,и их точки пересечения и будут являться корнями данной системы.

Линейные уравнения достаточно легко решать алгебраическим путем — все неизвестные переносим в одну сторону уравнения, все, что нам известно — в другую и вуаля! Сейчас же я покажу тебе, как это сделать графическим способом. Вариант 1 , и самый распространенный — перенести неизвестные в одну сторону, а известные в другую, получаем:.