Как решить тригонометрическое уравнение с тангенсом

Чтобы описать множество углов, отвечающих диаметральной паре точек тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить. Переходим к следующему этапу. Теперь в правой части будет стоять табличное значение синуса или косинуса отличное от или. Имеем вертикальную пару точек с абсциссой:.

Тангенс угла равен ординате точки , которая является точкой пересечения линии тангенсов и прямой , соединяющей точку с началом координат. Вот рисунок в случае, когда находится во второй четверти. Заметим, что тангенс может принимать любые действительные значения. Иными словами, уравнение имеет решения при любом. Имеем диаметральную горизонтальную пару точек: На этом заканчиваем пока и с тангенсом. Уравнение нет смысла рассматривать особо. Дело в том, что: Итак, мы разобрали простейшие тригонометрические уравнения, содержащие в правой части табличные значения тригонометрических функций.

Второй подход — логический и наглядный. Для решения простейших тригонометрических уравнений мы пользуемся тригонометрическим кругом и определениями тригонометрических функций. Напомним, что — абсцисса точки на единичной окружности, соответствующей углу , а — её ордината.

Все углы, соответствующие верхней точке, описываются формулой вспомните первое полезное наблюдение! Остальные уравнения с косинусом решаются совершенно аналогично. Мы приводим лишь рисунок и ответ.

Следуя ему, надо выучить по шпаргалке общие формулы, а также все частные случаи. Польза от этого столь же невелика, как от зубрежки шестнадцати строк заклинаний на непонятном языке. Мы отказываемся от такого подхода раз и навсегда.

Именно такие задачи встречаются в части В вариантов ЕГЭ. А что делать, например, с уравнением? Для этого надо сначала познакомиться с обратными тригонометрическими функциями.

На тригонометрическом круге имеются две точки с ординатой:. Эти точки соответствуют углам Все эти углы получаются из нулевого угла прибавлением целого числа углов т. Точки, лежащие на концах диаметра тригонометрического круга, мы будем называть диаметральной парой. Точки с абсциссой также образуют диаметральную пару, на сей раз вертикальную:. Все углы, отвечающие этим точкам, получаются из — прибавлением целого числа углов полуоборотов:. Теперь мы можем сделать и второе полезное наблюдение.

Любое тригонометрическое уравнение в конечном счёте сводится к решению одного или нескольких простейших. К сожалению, на этом заключительном стандартном шаге школьники часто допускают ошибки, что ведет к потере баллов на ЕГЭ. Именно поэтому так важна данная тема. Существуют два подхода к решению простейших тригонометрических уравнений. Первый подход — бессмысленный и тяжёлый.

Эта точка соответствует углу и всем углам, отличающихся от на несколько полных оборотов в обе стороны, т. Следовательно, все решения данного уравнения записываются формулой:. Отмечаем на тригонометрическом круге единственную точку с ординатой:. Это — дело исключительно вашего вкуса. Заодно сделаем первое полезное наблюдение. Чтобы описать множество углов, отвечающих одной-единственной точке тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого м ножества и прибавить.

Аналогично рассматриваются случаи, когда находится в остальных четвертях. В результате мы приходим к следующей геометрической интерпретации тангенса.

Из определения синуса и косинуса следует, что уравнения и имеют решения только при условии. Уравнения или решений не имеют! Мы видим, что на единичной окружности имеется лишь одна точка с абсциссой 1: Эта точка соответствует бесконечному множеству углов: Все они получаются из нулевого угла прибавлением целого числа полных углов т. Это и есть множество решений данного уравнения. Напоминаем, что — это множество целых чисел. Снова видим, что на единичной окружности есть лишь одна точка с абсциссой:.

Можно записать ответ в таком виде:. На первый взгляд совершенно не ясно, каким образом она дат обе серии решений. Но давайте посмотрим, что получается при чётных. Мы получили первую серию решений. А если — нечтно, , то. Обратим внимание, что в качестве множителя при обычно ставится правая точка, в данном случае —. Остальные уравнения с синусом решаются точно так же. Мы приводим рисунок, запись ответа в виде совокупности двух серий и объединяющую формулу.

Москва Орел Чебоксары Люберцы Ивантеевка. Пушкинская и еще 5 офисов. Москва , Орел , Чебоксары , Люберцы , Ивантеевка. Копирование материалов допускается только с разрешения владельца сайта и при наличии обратной ссылки. Позвоните мне Все поля обязательны для заполнения Отправить. Материалы отправлены Вам на электронную почту! Оставайтесь вместе с нами!

На этом с синусом и косинусом пока всё. Начнём с геометрической интерпретации тангенса — так называемой линии тангенсов. Это касательная к единичной окружности, параллельная оси ординат см. Из подобия треугольников и имеем:. Но , , , поэтому. Мы рассмотрели случай, когда находится в первой четверти.

Теперь рассмотрим уравнения с синусом. Тут ситуация немного сложнее. Имеем горизонтальную пару точек с ординатой:. Углы, отвечающие правой точке: Углы, отвечающие левой точке: Описывать эти две серии одной формулой никто не заставляет.

О них мы расскажем вам в следующей статье. Мы обязательно Вам перезвоним. Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Сдай ЕГЭ на баллов! Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика. Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.