Как решить систему линейных уравнений методом гаусса

Необходимо уметь складывать и умножать! Не случайно метод последовательного исключения неизвестных преподаватели часто рассматривают на школьных математических факультативах. Парадокс, но у студентов метод Гаусса вызывает наибольшие сложности. Ничего удивительного — всё дело в методике, и я постараюсь в доступной форме рассказать об алгоритме метода. Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений.

Продолжаем рассматривать системы линейных уравнений. Этот урок является третьим по теме. Метод Гаусса — это просто! А всё гениальное, как известно — просто! Кстати, на деньги попадают не только лохи, но еще и гении — портрет Гаусса красовался на купюре в 10 дойчмарок до введения евро , и до сих пор Гаусс загадочно улыбается немцам с обычных почтовых марок.

В расширенной матрице системы на месте отсутствующих переменных ставим нули: Кстати, это довольно легкий пример, поскольку в первом столбце уже есть один ноль, и предстоит выполнить меньше элементарных преобразований. Вторая особенность состоит вот в чём. Могут ли там быть другие числа? В ряде случаев могут. Но замечаем тот факт, что все числа в первом столбце делятся на 2 без остатка — и другая двойка и шестерка.

Смотрим на первый столбец — готовая единица у нас есть! Единица в левом верхнем углу организована. Теперь нужно получить нули вот на этих местах: Сначала разбираемся со второй строкой 2, —1, 3, Что нужно сделать, чтобы на первой позиции получить ноль? Мысленно или на черновике умножаем первую строку на —2: Результат записываем во вторую строку: Аналогично разбираемся с третьей строкой 3, 2, —5, —1.

Решить методом Гаусса систему уравнений: Запишем расширенную матрицу системы: Сейчас я сразу нарисую результат, к которому мы придём в ходе решения: И повторюсь, наша цель — с помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду. С чего начать действия? Сначала смотрим на левое верхнее число: Вообще говоря, устроит и —1 а иногда и другие числа , но как-то так традиционно сложилось, что туда обычно помещают единицу.

Вертикальная черта внутри матрицы не несёт никакого математического смысла — это просто отчеркивание для удобства оформления. Любую из матриц можно для краткости называть просто матрицей. Например, в рассматриваемой матрице можно безболезненно переставить первую и вторую строки: В данной матрице последние три строки пропорциональны, поэтому достаточно оставить только одну из них: Здесь целесообразно первую строку разделить на —3, а вторую строку — умножить на 2: Данное действие очень полезно, поскольку упрощает дальнейшие преобразования матрицы.

Мысленно или на черновике умножаем первую строку на —3: Результат записываем в третью строку: На практике эти действия обычно выполняются устно и записываются в один шаг: Не нужно считать всё сразу и одновременно.

Вернемся к нашей системе. Она практически разобрана по косточкам. Для того чтобы внизу получить ноль, а значит, избавиться от одной переменной во второй строке. В нижнем уравнении у нас уже готовый результат: Рассмотрим наиболее распространенную ситуацию, когда методом Гаусса требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Но вот ответы обязательно должны получиться одинаковыми! Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду: Там у нас должна быть единица. Проблема состоит в том, что в первом столбце единиц нет вообще, поэтому перестановкой строк ничего не решить. В таких случаях единицу нужно организовать с помощью элементарного преобразования.

Система линейных уравнений может:. Замечу, что сам алгоритм метода во всех трёх случаях работает одинаково. По какому принципу записаны коэффициенты, думаю, всем видно.

Обычно это можно сделать несколькими способами. То есть, мысленно умножили вторую строку на —1 и выполнили сложение первой и второй строки, при этом вторая строка у нас не изменилась. Дальше алгоритм работает уже по накатанной колее: К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3. Обратный ход, напоминаю, работает, снизу вверх. Да тут подарок получился: Это пример для самостоятельного решения, он несколько сложнее.

Дождливая осенняя погода за окном

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система линейных уравнений: В третьем уравнении у нас уже готовый результат: Смотрим на второе уравнение: И, наконец, первое уравнение: Как уже неоднократно отмечалось, для любой системы уравнений можно и нужно сделать проверку найденного решения, благо, это несложно и быстро.

Уверенно научиться решать системы другими методами методом Крамера, матричным методом можно буквально с первого раза — там очень жесткий алгоритм. Поэтому поначалу возможны путаница, ошибки в вычислениях, и в этом нет ничего необычного или трагического.

В последней части рассмотрим некоторые особенности алгоритма Гаусса. Первая особенность состоит в том, что иногда в уравнениях системы отсутствуют некоторые переменные, например: Как правильно записать расширенную матрицу системы?

И двойка слева вверху нас устроит! На первом шаге нужно выполнить следующие преобразования: Таким образом, мы получим нужные нули в первом столбце. Или еще такой условный пример: Необходимо провести следующее преобразование: Метод Гаусса универсален, но есть одно своеобразие.

Рассмотрим нашу матрицу из практического примера: Сначала я распишу преобразование очень подробно. Умножаем первую строку на —2: На практике так подробно, конечно, не расписывают, а пишут короче: Умножают строку обычно устно или на черновике, при этом мысленный ход расчётов примерно такой:. Внизу мне нужно получить ноль. Поэтому единицу вверху умножаю на —2: Записываю результат во вторую строку: Вверху —1 умножаю на —2: Ко второй строке прибавляю первую: Вверху —5 умножаю на —2: Но, конечно, над этим преобразованием мы еще поработаем.

Ничего страшного, если кто-нибудь запутается. Полное решение и образец оформления в конце урока. Ваше решение может отличаться от моего решения.

А мысленный ход самих расчётов я уже рассмотрел выше. В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на —5 поскольку там все числа делятся на 5 без остатка. Заодно делим третью строку на —2, ведь чем меньше числа, тем проще решение: На заключительном этапе элементарных преобразований нужно получить еще один ноль здесь: Попробуйте разобрать это действие самостоятельно — мысленно умножьте вторую строку на —2 и проведите сложение.