Как решить квадратное неравенство методом интервалов

Метод интервалов — простой способ решения дробно-рациональных неравенств. Так называются неравенства, содержащие рациональные или дробно-рациональные выражения, зависящие от переменной. В левой части этого неравенства — дробно-рациональная функция.

Найдем нули функции в левой части нашего неравенства. Для этого разложим числитель на множители. Напомним, как раскладывается на множители квадратный трехчлен, то есть выражение вида.

Левая часть имеет знак:. При числитель положителен; первый множитель в знаменателе положителен, второй множитель отрицателен. При ситуация та же! Числитель положителен, первый множитель в знаменателе положителен, второй отрицателен. Почему нарушилось чередование знаков? Следовательно, не изменила знак и вся левая часть нашего неравенства. В случае нечётной степени знак, разумеется, меняется. Рассмотрим более сложный случай. От предыдущего отличается тем, что неравенство нестрогое:. Может, и ответ будет тем же?

Придём к равносильному неравенству:. Обратите внимание — мы поделили обе части неравенства на величину, о которой точно знали, что она положительна. Конечно, в общем случае не стоит умножать или делить неравенство на переменную величину, знак которой неизвестен. Так и хочется умножить его на. Но мы уже умные, и не будем этого делать. Ведь может быть как положительным, так и отрицательным.

Мы видим, что метод интервалов очень прост. Чтобы решить дробно-рациональное неравенство методом интервалов, приводим его к виду:. Затем — отмечаем на числовой прямой точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в нуль. Эти точки разбивают всю числовую прямую на промежутки, на каждом из которых дробно-рациональная функция сохраняет свой знак.

А мы знаем, что если обе части неравенства умножить на отрицательную величину — знак неравенства меняется. Мы поступим по другому — соберём всё в одной части и приведём к общему знаменателю.

Остается только выяснить ее знак на каждом промежутке. Мы делаем это, проверяя знак выражения в любой точке, принадлежащей данному промежутку. После этого — записываем ответ. Надо быть внимательным и не расставлять знаки механически и бездумно. Снова расставляем точки на оси. При числитель положителен, оба множителя в знаменателе отрицательны. Это легко проверить, взяв любое число с данного промежутка, например,.

И поэтому для определения знака функции на каждом таком промежутке мы берем любую точку, принадлежащую этому промежутку. Ту, которая нам удобна. Возьмем, например, и проверим знак выражения в левой части неравенства. Левая часть имеет знак. Получаем, что левая часть поменяла знак на. При выражение положительно — следовательно, оно положительно на всем промежутке от до.

Здесь абитуриенты попадают в ловушку и теряют баллы. Что делать, если числитель или знаменатель не удается разложить на линейные множители? Но ведь это и хорошо! Это значит, что знак выражения при всех одинаков, а конкретно — положителен. Подробнее об этом можно прочитать в статье о свойствах квадратичной функции. И теперь мы можем поделить обе части нашего неравенства на величину , положительную при всех.

Рациональная, потому что не содержит ни корней, ни синусов, ни логарифмов — только рациональные выражения. В правой — нуль. Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует.

Москва , Орел , Чебоксары , Люберцы , Ивантеевка. Копирование материалов допускается только с разрешения владельца сайта и при наличии обратной ссылки. Позвоните мне Все поля обязательны для заполнения Отправить. Материалы отправлены Вам на электронную почту! Оставайтесь вместе с нами!

Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Следовательно, левая часть имеет знак. Мы нашли, на каких промежутках выражение положительно. Это произошло потому, что при переходе через каждую точку ровно один из линейных множителей поменял знак, а остальные сохранили его неизменным.

Рисуем ось и расставляем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль. Эти точки разбивают ось на промежутков. Определим знак дробно-рациональной функции в левой части нашего неравенства на каждом из этих промежутков. Мы помним, что дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует.

Добавляется решение Это происходит потому, что при и левая, и правая части неравенства равны нулю — следовательно, эта точка является решением. В задаче на ЕГЭ по математике такая ситуация встречается часто.

В правой части останется нуль:. Мы обязательно Вам перезвоним. Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Сдай ЕГЭ на баллов! Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика. Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности. Москва Орел Чебоксары Люберцы Ивантеевка. Ты нашел то, что искал? Пушкинская и еще 5 офисов.