Как решить логарифмическое неравенство дробное

А, во-вторых, ты не представляешь, насколько может быть продуктивным такое на первый взгляд бесполезное действие, как умножение на единицу.

Но для использования данного правила тебе нужно быть еще более внимательным. Ничего страшного, если ты сразу не научишься применять его на практике. Аппетит, как говорится, приходит во время еды. Теперь давай перейдем к более общему случаю логарифмических неравенств: Мы с тобой видим, что с левой частью все в порядке — она представляет собой логарифмическое выражение. Не в порядке у нас правая часть — она есть просто число три. Что же нам теперь делать? Ну, во-первых, не отчаиваться.

Вся собака зарыта в основаниях! Теперь ты во всеоружии можешь решать самые разнообразные примеры, щелкая их как орешки хотя не все орешки имеют мягкую скорлупу. Ну что же, ты знаешь, что делать: Как называется метод, который позволяет решать такие неравенства? Я просил или нет, повторить его? Тебя предупреждали, что он может пригодиться в самом неожиданном месте. Ну ладно, я еще раз напомню, но в первый и последний раз делаю тебе маленькую поблажку.

Простейшим логарифмическим неравенством является соотношение вида:. Прежде всего, когда мы решаем логарифмическое неравенство, мы должны позаботиться о такой противной штуке, как область допустимых значений ОДЗ. А как мы помним, это число обязано быть положительным еще раз посмотри на определение логарифмического неравенства , я предупреждал, что это очень важно. Теперь тебе ясно, что является решением нашего исходного неравенства?

Я сразу выпишу, что у меня получилось. А ты, будь добр, проделай все выкладки самостоятельно с сравни с моим ответом. Но из нашего ОДЗ следует, что никакое отрицательное число не может быть решением неравенства! Тогда я делаю вывод, что решений у нашего неравенства нет! ОДЗ здесь еще проще: Кстати, обрати пристальное внимание на первый пример хотя и на второй тоже.

ЕГЭ уже не за горами, а ты до сих пор не научился решать все задачки? Даже из B части? Это надо срочно исправлять, очень срочно! Так что бери в руки ручку и давай заполнять пробелы новыми знаниями. Сегодня я хочу поговорить с тобой о логарифмических неравенствах.

Посмотри, тебя ничего не смущает? Таким образом, я думаю, что ты готов к осознанию некоторого более сложного правила решения логарифмических неравенств: Использование данного правила позволит тебе экономить время и силы при нахождении ОДЗ, так как оно уменьшает количество неравенств, которые нам с тобой нужно решить.

В таком случае что мы с тобой должны сделать вначале? Верно, привести неравенство к виду простейшего. И мы обязательно будем это делать, но самую малость попозже. Второе решим методом интервалов, который я уже успел неоднократно применить выше и буду применять впредь!

Зачем я это сделал, как ты думаешь? Тебе, я надеюсь, очевидно, почему это так? Да все потому, что а нужно возвести в первую степень, чтобы само а и получить в итоге. Тогда я запишу, что. Сам подумай, почему я выбрал два в качестве основания логарифма. Теперь я воспользуюсь простым свойством:.

А виновато основание и только оно. Ничего, как только мы решим до конца этот пример, я сформулирую соответствующее простое правило. А пока что решим простейшее неравенство: Тогда исходное неравенство равносильно вот такой системе:.

Да, ты абсолютно прав, это та область, где проходят две дужки. О нет, ОДЗ не изменится, куда уж ему деться. А вот само неравенство, которое равносильно исходному, преобразится: Отчего же это произошло?

Найдем знак нашего выражения на каждом из интервалов. Для этого, как помнишь, я должен выбрать число из какого-нибудь промежутка и подставить его в исходное выражение. Мне нравится подставлять ноль не правда ли, удобно? Выражение в нуле равно восьми, значит знак положительный. Плюсики меня и интересуют, тогда ОДЗ первого выражения будет множество.

Азов нам пока что хватит. Ну все, теперь, я думаю, самое время переходить к внешнему виду логарифма. Давай посмотрим на него повнимательнее. Как правило, он имеет вид:. А сам логарифм равен степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить подлогарифменное выражение. Хотя ты и так все это помнишь. Ты также прекрасно помнишь, что из определения логарифма следует:.

И ее решением будет промежуток: Все еще под впечатлением? Изменилось ведь всего ничего основание такое маленькое, что иногда и незаметно вовсе , а решение стало совсем другим. Если сказать все простыми словами, то: Теперь ты понял, почему так сильно отличались решения очень похожих неравенств?

И я нет, и никто не знает. Да потому что нет целой степени двойки такой, чтобы двойка в ней равнялась трем. То есть логарифм, можно сказать, обобщает понятие степени.

Хорошенько запомни эти три соотношения, они помогут тебе избежать глупейших ошибок при решении примеров. Ну все, теперь наша с тобой цель это скрестить бульдога с носорогом, где бульдогом будет логарифмы, а носорогом — неравенства. Так что же мы получим? Как ты уже догадался, результатом этого эксперимента будут логарифмические неравенства.

Оба слова тебе знакомы по отдельности? Я очень надеюсь, что да. Иначе я настоятельно рекомендую очень-очень прошу! Ну что, весь материал улегся в голове? А вот ты знаешь, чему в точности равно?

И опять применяем метод интервалов. Я пропущу эти выкладки, а ты проведи их и сравни с моим ответом:. Окончательное решение неравенства — пересечение ОДЗ с только что полученным множеством. Теперь давай сформулируем основной алгоритм решения простейших логарифмических неравенств вида. Те же самые правила применимы и к трем другим видам логарифмических неравенств. Во-первых, кто сказал, что всегда ясно однозначно, какое значение принимает основание.

Никто этого не говорил. Основание также может быть переменным, например. И тогда нам нужно уже рассматривать отдельно 2 случая: В общем случае, внешний вид логарифмических неравенств может существенно отличаться от простейших.

Тут ты и сам справишься и запишешь, что. Тогда я пересекаю первое ОДЗ со вторым, получу:. Тогда мое окончательное ОДЗ — есть та область, над которой проходят две дужки — это промежуток. Теперь приступим непосредственно к решению неравенства, оно заждалось и неприлично заставлять ждать его еще больше.

Ну что я все про логарифмы да про логарифмы… Ты ведь мне пообещал, что прочитаешь все материалы по ним самостоятельно, и я тебе в этом вопросе полностью доверяю. Они же не кусаются. Тебе ведь совершенно очевидно, что неравенство, скажем. Ты ведь грамотный читатель и тебе не надо лишний раз напоминать, что при делении или умножении на положительное число знак неравенства не меняется, а при умножении на отрицательное — меняется на противоположный?