Как решить кубическое уравнение пример онлайн

Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем коэффициента. Метод поиска целых корней заключается в том, что мы находим все делители числа и проверяем, выполняется ли для них уравнение 2. Если уравнение 2 выполняется, то мы нашли его корень.

Далее делим уравнение 2 на. Решая его, находим еще два корня. Если в уравнении 2 , , , — целые числа, причем , и целых корней нет, то можно попытаться найти рациональные корни, то есть корни вида , где и — целые. Для этого умножим уравнение 2 на и сделаем подстановку: Далее ищем целые корни уравнения 3 среди делителей свободного члена.

Формулы Кардано и Виета для решения кубического уравнения Если нам не известен ни один корень, и целых корней нет, то найти корни кубического уравнения можно по формулам Кардано. Примеры решений по формулам Кардано и Виета Решить кубические уравнения: Степенная функция, свойства и графики.

Здесь мы рассматриваем решение кубических уравнений вида 1. Далее считаем, что — это действительные числа. Если исходное уравнение имеет вид: Уравнение 1 имеет три корня: Один из корней всегда действительный. Действительный корень мы обозначаем как. Корни и могут быть либо действительными, либо комплексно сопряженными. Действительные корни могут быть кратными. Например, если , то и — это двукратные корни или корни кратности 2 , а — простой корень.

Если мы нашли целый корень уравнения 3 , то, возвращаясь к переменной , получаем рациональный корень уравнения 2: Если нам не известен ни один корень, и целых корней нет, то найти корни кубического уравнения можно по формулам Кардано. После этого уравнение приводится к неполному или приведенному виду: Формула Кардано для неполного приведенного кубического уравнения имеет вид: По формуле Кардано, мы находим три корня величины.

Решение кубических уравнений Изложено, как решать кубические уравнения. Рассмотрен случай, когда известен один корень. Методы поиска целых и рациональных корней. Применение формул Кардано и Виета для решения любого кубического уравнения.

Пусть нам известен один корень кубического уравнения 1. Обозначим известный корень как. Тогда разделив уравнение 1 на , получим квадратное уравнение. Решая квадратное уравнение, найдем еще два корня и. Для доказательства воспользуемся тем, что кубический многочлен можно представить в виде: Тогда, разделив 1 на , получаем квадратное уравнение.

Если известен один корень Пусть нам известен один корень кубического уравнения 1. Если один из корней — целый Если исходное уравнение имеет вид: Поиск рациональных корней Если в уравнении 2 , , , — целые числа, причем , и целых корней нет, то можно попытаться найти рациональные корни, то есть корни вида , где и — целые.

После разделения кубических корней величины , формула Кардано принимает следующий вид: При , для и нужно выбирать действительные корни, которые автоматически связаны соотношением. При этом мы получим одно действительное решение и два комплексно сопряженных и. В этом случае мы имеем два кратных действительных корня. Если , то мы имеем три кратных корня. При мы имеем три действительных корня. При этом и — комплексные. Поэтому решение приводится к тригонометрической форме, которая имеет название формулы Виета: Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, Обыкновенные дифференциальные уравнения Справочник по элементарным функциям Методы вычисления неопределенных интегралов.