Как решить дробное неравенство методом интервалов

Сразу заметим, что целесообразно брать такие точки, чтобы проводить вычисления было легко. Это значение со знаком плюс положительное , поэтому, на этом интервале будет знак плюс. Существует и другой подход к определению знаков, состоящий в нахождении знака на одном из интервалов и его сохранении или изменении при переходе к соседнему интервалу через нуль.

Для нахождения нулей числителя и знаменателя в общем случае, когда в левой части неравенства дробь, но не обязательно рациональная, также числитель и знаменатель приравниваются к нулю, и решаются соответствующие уравнения. Самый надежный способ определения знака выражения из левой части неравенства на каждом промежутке состоит в вычислении значения этого выражения в какой-либо одной точке из каждого промежутка.

Как проводить такие преобразования мы подробно обсудим в статье решение рациональных неравенств , а сейчас приведем пример, иллюстрирующий один важный момент, касающийся квадратных трехчленов в записи неравенств. С первого взгляда на данное неравенство кажется, что его вид подходит для применения метода интервалов. Но не помешает проверить, действительно ли дискриминанты квадратных трехчленов в его записи отрицательны. Вычислим их для успокоения совести. Это означает, что для придания этому неравенству нужного вида требуются преобразования.

А это свойство в свою очередь следует из теоремы Больцано-Коши ее рассмотрение выходит за рамки школьной программы , формулировку и доказательство которой при необходимости можно найти, например, в книге [4, с. Для выражений f x , имеющих указанный в предыдущем пункте вид, постоянство знака на промежутках можно обосновать и иначе, отталкиваясь от свойств числовых неравенств и учитывая правила умножения и деления чисел с одинаковыми знаками и разными знаками. В качестве примера рассмотрим неравенство.

При этом искомый знак на промежутке совпадает со знаком значения выражения в любой точке этого промежутка. Поясним это на примере. Определим знаки на них. Для этого возьмем по одной точке из этих промежутков, и вычислим значения выражения в них.

А при переходе через точку, являющуюся одновременно и нулем числителя, и нулем знаменателя, знак изменяется, если сумма степеней выражений, дающих этот нуль, нечетная, и не изменяется, если четная.

Переходя к следующему интервалу 3, 4 , мы переходим через точку с координатой 4. Поэтому, на интервале 3, 4 будет знак минус: Идем дальше к интервалу 2, 3 , при этом переходим через точку с координатой 3. Продвигаемся дальше к интервалу 1, 2. Путь к нему нам преграждает точка с координатой 2. Чтобы попасть на него, нам необходимо преодолеть точку с координатой 1.

Пусть перед нами неравенство , и мы его решаем методом интервалов. Для этого находим нули числителя 2 , 3 , 4 и нули знаменателя 1 , 3 , 4 , отмечаем их на координатной прямой сначала черточками затем нули знаменателя заменяем изображениями выколотых точек и так как решаем нестрогое неравенство, то оставшиеся черточки заменяем обыкновенными точками. А дальше наступает момент определения знаков на промежутках. Определим остальные знаки, при этом будем продвигаться от промежутка к промежутку справа налево.

Для наглядности приведем примеры подобных неравенств: Чтобы сделать дальнейший разговор предметным, сразу запишем алгоритм решения неравенств указанного выше вида методом интервалов, а потом разберемся, что да как да почему. Итак, по методу интервалов:. Заметим, что приведенный алгоритм согласован с описанием метода интервалов в школьных учебниках [1, с. Подход, лежащий в основе метода интервалов, имеет место в силу следующего свойства непрерывной функции [3, с.

Поэтому в школьном курсе алгебры метод интервалов вплотную привязывают именно к рациональным неравенствам, а решению других неравенств с его помощью практически не уделяют внимания. В этой статье мы детально разберем метод интервалов и затронем все тонкости решения неравенств с одной переменной с его помощью.

К примеру, вычислите-ка значение выражения в любой точке интервала. Теперь можно собрать воедино всю представленную информацию, достаточную для решения неравенств методом интервалов, и разобрать решения нескольких примеров. Проведем решение этого неравенства методом интервалов. Теперь проставляем знаки на промежутках, придерживаясь правила сохранения или изменения знака при переходе через нули.

Начнем с нулей числителя. Это искомые нули числителя. Теперь находим нули знаменателя. Итак, мы нашли нули знаменателя, их оказалось два: Заметим, что 0 оказался как нулем числителя, так и нулем знаменателя.

Кстати, если выражение в правой части неравенства имеет вид, указанный в начале первого пункта этой статьи, то на крайнем правом промежутке будет знак плюс.

Запишем алгоритм решения неравенств обобщенным методом интервалов:. Понятно, что алгоритм, приведенный в начале статьи, является частным случаем этого алгоритма. В нем нахождение нулей знаменателя по сути является нахождением области определения функции, соответствующей левой части неравенства. Вводим функцию f такую, что. Сначала нужно найти область определения функции f: Также нам нужны нули этой функции. Отмечаем на числовой прямой граничные точки области определения, а также изображаем нуль функции обычной точкой, так как решаем нестрогое неравенство: Если возникли вопросы как было выяснено, какими являются вычисленные значения функции, положительными или отрицательными, то изучите материал статьи сравнение чисел.

Метод интервалов или как его еще иногда называют метод промежутков — это универсальный метод решения неравенств. Он подходит для решения разнообразных неравенств, однако наиболее удобен в решении рациональных неравенств с одной переменной.

После этого перейдем к практике и покажем решения нескольких типовых примеров. А в заключение рассмотрим метод интервалов в общем виде то есть, без привязки к рациональным неравенствам , другими словами, обобщенный метод интервалов.

Начнем с того, что приведем алгоритм решения неравенств методом интервалов. Дальше поясним, на каких теоретических аспектах он базируется, и разберем шаги алгоритма, в частности, подробно остановимся на определении знаков на интервалах.

Остается расставить только что определенные знаки, нанести штриховку над промежутками со знаком минус и записать ответ. Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www. Неравенства, решение неравенств Метод интервалов, примеры, решения. На чем базируется метод? Как находить нули числителя и знаменателя? Как определять знаки на интервалах? Примеры решения неравенств методом интервалов. Алгебра и начала анализа: Курс математического анализа в двух томах: Учебник для студентов университетов и втузов.

Так мы определили все знаки, и рисунок приобретает такой вид: Понятно, что применение рассмотренного метода особенно оправдано, когда вычисление значения выражения связано с большим объемом работы.

Итак, искомое решение таково: Справедливости ради обратим внимание на то, что в подавляющем большинстве случаев при решении рациональных неравенств их предварительно приходится преобразовывать к нужному виду, чтобы стало возможным их решение методом интервалов.

Принцип решения уравнений такого вида подробно изложен в статье решение уравнений методом разложения на множители. Здесь лишь ограничимся примером. Рассмотрим дробь и найдем нули ее числителя и знаменателя.

Возьмем любое число t из этого промежутка. Так мы плавно подошли к вопросу определения знаков на промежутках, но не будем перескакивать через первый шаг метода интервалов, подразумевающий нахождение нулей числителя и знаменателя. С нахождением нулей числителя и знаменателя дроби указанного в первом пункте вида обычно не возникает никаких проблем. Для этого выражения из числителя и знаменателя приравниваются к нулю, и решаются полученные уравнения.

Нужно придерживаться следующего правила. При переходе через нуль числителя, но не знаменателя, или через нуль знаменателя, но не числителя, знак изменяется, если степень выражения, дающего этот нуль, нечетная, и не изменяется, если четная.