Как решать уравнения с двойным модулем

Как быть в таком случае? Во-первых, надо раз и навсегда понять, что если правая часть уравнения окажется отрицательной, то уравнение не будет иметь корней — мы уже знаем, что модуль не может быть равен отрицательному числу.

Ну и как такое решать? Обратим внимание на второе уравнение. Про него сразу можно сказать: А вот с первым уравнением всё веселее. В первом случае наше уравнение перепишется так:. Особо недоверчивые могут попробовать подставить найденный корень в исходное уравнение и убедиться, что действительно под модулем будет положительное число.

Мелочь, которая в итоге немного упростит нам жизнь.: Поэтому у него единственный корень: Но этот корень мы уже получали ранее. Таким образом, в итоговый ответ пойдут лишь два числа:. Наличие одинаковых корней при разных вариантах раскрытия модуля означает, что исходные многочлены раскладываются на множители, и среди этих множителей обязательно будет общий.

Для этого вспомним, что у нас есть дополнительное ограничение в виде неравенства:. Как учесть это требование? Да просто подставим найденные корни и проверим: Как видите, даже в этом случае ничего сложного не было — уравнения с модулями всегда решаются по алгоритму. Нужно лишь хорошо разбираться в многочленах и неравенствах.

Таким образом, наше уравнение с модулем распадается на два, но уже без модуля. Вот и вся технология! Попробуем решить парочку уравнений. Начнём вот с такого. Отдельно рассмотрим, когда справа стоит десятка с плюсом, и отдельно — когда с минусом. Опять пара строчек — и ответ готов! Как я и говорил, в модулях нет ничего сложного. Нужно лишь запомнить несколько правил. Поэтому идём дальше и приступаем с действительно более сложным задачам. Это уравнение принципиально отличается от всех предыдущих.

Кроме того, если объединить определение модуля для положительного и отрицательного числа, то получим глобальное определение модуля для всех чисел. Можно записать это в виде формулы:. Ещё есть модуль нуля, но он всегда равен нулю.

Но детский сад закончился — пора рассмотреть что-нибудь посерьёзнее. Начнём с уравнений вот такого типа:. Принципиально важным моментом является отсутствие других слагаемых и множителей: Кто-нибудь сейчас подумает, что такие уравнения решаются сложнее, чем то, что мы изучали до сих пор.

Поэтому переходим к более сложным задачам — там уже будет не один, а два модуля. До сих пор мы изучали лишь самые простые уравнения — там был один модуль и что-то ещё.

Возможно, кто-то сейчас спросит: Действительно, по-хорошему мы должны были переписать наше уравнение следующим образом:. Затем нужно раскрыть скобки, перенести все слагаемые в одну сторону от знака равенства поскольку уравнение, очевидно, в обоих случаях будет квадратным , ну и дальше отыскать корни.

Из этого определения также следует, что модуль всегда неотрицателен. Но хватит определений и теории — перейдём к настоящим уравнениям.: Ну хорошо, с определением разобрались. Но легче-то от этого не стало. Как решать уравнения, содержащие этот самый модуль? Начнём с самых простых вещей.

Что ж, рассмотрим ещё более сложное уравнение:. С неравенством мы потом разберёмся — оно какое-то уж слишком злобное на самом деле простое, но мы его решать не будем. Пока лучше займёмся полученными уравнениями. Ну, тут и ежу понятно, что нужно всё собрать слева, привести подобные и посмотреть, что получится. А получится вот что:. Тут мы воспользовались важным свойством произведения, ради которого мы и раскладывали исходный многочлен на множители: Ну вот мы получили три корня: Ну и что из этого набора пойдёт в окончательный ответ?

Одно из свойств модуля: Как видим, у нас действительно возник общий множитель. Теперь, если собрать все модули с одной стороны, то можно вынести этот множитель за скобку:. Ну а теперь вспоминаем, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:. Таким образом, исходное уравнение с двумя модулями свелось к двум простейшим уравнениям, о которых мы говорили в самом начале урока.

Рассмотрим что-нибудь типа такого:. А есть ли другие числа? Кэп как бы намекает, что есть. Так может, если поискать, подумать, мы найдём ещё числа? Теперь немного усложним задачу.

Решаем полученное уравнение, при этом уже точно зная, что найденный корень нас устроит:. Итого мы вновь получили два ответа: Так может, существует какой-то универсальный алгоритм? Тогда можно избавиться от знака модуля по следующему правилу:.

А во-вторых, если права часть всё-таки положительна или равна нулю , то можно действовать точно так же, как раньше: В конце концов, можно тупо подставить корни, которые мы получим из первого уравнения, и проверить: Поэтому в ответ пойдут два числа: Вот и всё решение.: Подозреваю, что кто-то из учеников уже начал скучать?

А чему тогда равен модуль положительного числа? Нетрудно заметить, что это за числа, у которых модули одинаковые: Таким образом, отметим для себя, что модули противоположных чисел равны:. Ещё один важный факт: Какое бы число мы ни взяли — хоть положительное, хоть отрицательное — его модуль всегда оказывается положительным или в крайнем случае нулём. Именно поэтому модуль часто называют абсолютной величиной числа.

А вот и нет: А затем решаем полученные два уравнения — и корни готовы! Никаких дополнительных ограничений, никаких неравенств и т. В первом уравнении корней нет. Потому и нет корней.: Как видим, всё решилось буквально в пару строчек — другого от линейного уравнения мы и не ожидали.: Поэтому сразу переписываем его, раскрывая знак модуля:.

Модуль — одна из тех вещей, о которых вроде-бы все слышали, но в действительности никто нормально не понимает. Поэтому сегодня будет большой урок, посвящённый решению уравнений с модулями. И вообще модули — вообще тема относительно несложная. У меня от неё мозг разрывается! И цель этого урока — превратить хрень в знания.: Начнём с самого важного: Вот так всё просто?

Кроме того, ноль — единственное число, которое не имеет противоположного. Но это ещё не всё: Помимо чисто алгебраического определения, есть геометрическое. Допустим, есть две точки на числовой прямой: Или, если угодно, длина отрезка, соединяющего эти точки:.

Такие уравнения решаются буквально в пару строчек.: